Linéarité de la moyenne

Propriété Linéarité de moyenne
Soit \(p\) un entier naturel non nul  et \(i\) un entier naturel compris entre 1 et \(p\).
On considère la série statistique donnée par le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Valeur } \ x_i & x_1 & x_2 & \dots & x_p\\ \hline\text{Effectif} \ n_i& n_1 & n_2 & \dots & n_p\\ \hline\end{array}\)

On  note \(\overline{x}\) sa moyenne.
Soit \(a\) et \(b\) deux réels.
On considère la nouvelle série statistique suivante.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Valeur } \ ax_i+b & ax_1 +b& ax_2+b & \dots & ax_p+b\\ \hline\text{Effectif} \ n_i& n_1 & n_2 & \dots & n_p\\ \hline\end{array}\)
Alors, la moyenne \(\overline{x}'\) de cette nouvelle série statistique est donnée par \(\boxed{\overline{x}'=a\times \overline{x} +b}\).

Démonstration
La moyenne de la série  \(a\times x_1 +b , a\times x_2+b, \dots , a\times x_p +b\) est donnée par 
\(\overline{x}'=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^p (an_kx_k+b)}{N} = \dfrac{an_1x_1+b+an_2x_2+b + \cdots + an_px_p+b}{N}\) 
\(\overline{x}'= \dfrac{an_1x_1+an_2x_2+\cdots + an_px_p}{N}+\dfrac{ \overbrace{b+b+\cdots+b}^{p \text{ fois}}}{N}\) 
\(\overline{x}'= \dfrac{a\left(n_1x_1+n_2x_2+\cdots + n_px_p\right)}{N}+\dfrac{ N\times b}{N} = a\times m +b\)

Exemple
Dans un entreprise, le salaire mensuel moyen est de 1 450 €.
L'entreprise dégage de gros profits en 2023. Suite à cela, elle décide d'augmenter tous les salaires mensuels de 5 % et d'ajouter 100 € au montant obtenu.
Quel est le nouveau salaire mensuel moyen ?
 On a \(\overline{x}=1\ 450\).
Chaque salaire est augmenté de 5 % donc \(a=1+\dfrac{5}{100}=1,05\) .
\(b=100\) .
Par linéarité de la moyenne, on a  \(\overline{x}'=1,05\times 1\ 450+100= 1\ 622,50\).
Donc le nouveau salaire mensuel moyen est de 1 622,50 €.